Hverjar eru tvær gerðir af margvísum?
Dec 01, 2023| Hverjar eru tvær gerðir af margvísum?
Kynning:
Fjölbreytileiki er stærðfræðilegur hlutur sem lýsir staðbundinni hegðun rýmis. Það er hægt að sjá það sem yfirborð sem er strekkt og beygt í mismunandi áttir. Í þessari grein munum við fjalla um tvær gerðir af margvísum - staðfræðilegum greinum og aðgreinanlegum greinum.
Topological margvísindi:
Topological margbreytileiki er rými sem staðbundið lítur út eins og evklíðískt rými af einhverri vídd. Þetta þýðir að hver punktur í fjölbreytileikanum hefur hverfi sem er einsleitt við opið mengi í evklíðsku rými. Vídd fjölbreytileikans er einfaldlega sú vídd evklíðska rýmisins sem það líkist á staðnum.
Hægt er að flokka staðfræðilega fjölbreytileika í mismunandi gerðir út frá eiginleikum þeirra. Til dæmis er tengt greini þar sem hægt er að tengja hvaða tvo punkta sem er með slóð, á meðan þéttur greini er sá sem er bæði afmarkaður og lokaður. Aðrar gerðir af sundurgreinum eru meðal annars snæranleg dreifikerfi, óbeygjanleg dreifikerfi og jaðargreinir.
Aðgreiningargreinar:
Aðgreiningargrein er rými sem lítur út eins og evklíðskt rými af einhverri vídd og hefur einnig slétta uppbyggingu. Þetta þýðir að hver punktur í fjölbreytileikanum hefur hverfi sem er ólíkt opnu mengi í Evklíðsku geimnum. Ólíkt staðfræðilegum greinum, hafa aðgreiningargreinar hugmynd um sléttleika sem gerir okkur kleift að skilgreina afleiður og aðra mismunaaðgerðir.
Einnig er hægt að flokka aðgreiningargreinar í mismunandi gerðir út frá eiginleikum þeirra. Til dæmis er Riemannian greinibúnaður búinn metra tensor sem gerir okkur kleift að mæla fjarlægðir og horn á greininni. Aðrar gerðir af margvísum innihalda táknrænar greinar, flóknar greinar og Lie hópar.
Tengsl milli staðfræðilegra og aðgreinanlegra margþátta:
Sérhver aðgreiningargrein er einnig staðfræðileg fjölgrein, en ekki sérhver staðfræðileg fjölgrein er aðgreinananleg. Með öðrum orðum, sléttleiki er sterkara skilyrði en samfella. Þetta þýðir að ekki er hægt að gefa sumum staðfræðilegum greinum slétta uppbyggingu og því ekki hægt að rannsaka þær með mismunatækni.
Hins vegar eru mikilvæg tengsl á milli þessara tveggja tegunda margvísra. Til dæmis er flokkun á einfaldlega tengdum staðfræðilegum greinum nátengd flokkun á þéttum einfaldlega tengdum aðgreiningargreinum. Þetta er þekkt sem Poincaré tilgátan, eitt frægasta óleysta vandamálið í stærðfræði þar til það var sannað af Grigori Perelman árið 2003.
Önnur tenging er veitt af hugmyndinni um margvíslegt landamæri. Yfirborðsfræðilegt svið með mörkum er rými sem lítur staðbundið út eins og lokað hálfrými einhverrar víddar. Aðgreiningargrein með mörkum er sú sem hægt er að útbúa með sléttri uppbyggingu sem gerir mörkin að sléttri undirgrein. Kenningin um margvísleg mörk með mörkum er mikilvæg á mörgum sviðum stærðfræðinnar, þar á meðal rúmfræðigreiningu og hlutadiffurjöfnur.
Niðurstaða:
Í stuttu máli eru fjölþættir stærðfræðilegir hlutir sem lýsa staðbundinni hegðun rýma. Það eru tvær gerðir af margvísum - staðfræðilegum greinum og aðgreinanlegum greinum. Topological margvísindi eru rými sem staðbundið líkjast evklíðsku rými og hafa ýmsa eiginleika sem hægt er að flokka. Aðgreiningargreinar hafa viðbótarbyggingu sem gerir okkur kleift að skilgreina afleiður og aðra mismunaaðgerðir. Þó að þessar tvær tegundir af margvísum séu skyldar, er sléttleiki sterkari skilyrði en samfella, og ekki er hægt að gefa öllum staðfræðilegum margvíslegum sléttri uppbyggingu.